453 Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если АВ = BC = m, ∠ABC = ф и ВВ₁ = BD, где BD высота треугольника АВС.

Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, АВ = BC = m, ∠ABC = φ, ВВ₁ = BD, где BD высота треугольника АВС.

Найти: V

Решение:

Т.к. призма прямая, то $$BB_1 \perp ABC$$

Найдем высоту BD в треугольнике АВС.

Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то высота ВD является и медианой, т.е. AD = DC. Тогда AC = 2AD

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD: $$AD = AB \cdot cos∠BAD = m \cdot cos(\frac{φ}{2})$$

$$AC = 2m \cdot cos(\frac{φ}{2})$$

По теореме Пифагора найдем высоту BD:

$$BD^2 = AB^2 - AD^2 = m^2 - m^2 \cdot cos^2(\frac{φ}{2}) = m^2(1 - cos^2(\frac{φ}{2})) = m^2 \cdot sin^2(\frac{φ}{2})$$

$$BD = m \cdot sin(\frac{φ}{2})$$

Найдем площадь треугольника АВС:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} 2m \cdot cos(\frac{φ}{2}) \cdot m \cdot sin(\frac{φ}{2}) = m^2 \cdot cos(\frac{φ}{2}) \cdot sin(\frac{φ}{2}) = \frac{1}{2}m^2 sinφ $$

Найдем объем призмы:

$$V = S_{ABC} \cdot BB_1 = S_{ABC} \cdot BD = \frac{1}{2}m^2 sinφ \cdot m \cdot sin(\frac{φ}{2}) = \frac{1}{2}m^3 sinφ sin(\frac{φ}{2})$$

Ответ: $$V = \frac{1}{2}m^3 sinφ sin(\frac{φ}{2})$$