456 Найдите объём правильной п-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) п = 3; б) п=4; в) п=6; г) п=8.

Дано: правильная n-угольная призма, каждое ребро равно а.

Найти: V, если: а) п = 3; б) п=4; в) п=6; г) п=8.

Решение:

а) п = 3. В основании правильный треугольник. Площадь правильного треугольника равна $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Объем призмы равен $$V = S \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$$

б) п = 4. В основании квадрат. Площадь квадрата равна $$S = a^2$$. Объем призмы равен $$V = S \cdot h = a^2 \cdot a = a^3$$

в) п = 6. В основании правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника равна $$S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$. Объем призмы равен $$V = S \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$$

г) п = 8. В основании правильный восьмиугольник. Площадь правильного восьмиугольника равна $$S = 2(1 + \sqrt{2})a^2$$. Объем призмы равен $$V = S \cdot h = 2(1 + \sqrt{2})a^2 \cdot a = 2(1 + \sqrt{2})a^3$$

Ответ: а) $$V = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$$; б) $$V = a^3$$; в) $$V = \frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$$; г) $$V = 2(1 + \sqrt{2})a^3$$