454 Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если АВ = BC, ∠ABC = 0, диагональ А₁С равна l и составляет с плоскостью основания угол в.

Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, АВ = BC, ∠ABC = α, диагональ А₁С = l, диагональ А₁С составляет с плоскостью основания угол β.

Найти: V

Решение:

Т.к. призма прямая, то $$CC_1 \perp ABC$$

Рассмотрим треугольник $$ACC_1$$. Он прямоугольный, т.к. призма прямая. Тогда

$$AC = A_1C \cdot cosβ = l \cdot cosβ$$

$$CC_1 = A_1C \cdot sinβ = l \cdot sinβ$$

Найдем площадь треугольника АВС:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot sinα = \frac{1}{2}AB^2 \cdot sinα $$

По теореме косинусов найдем сторону АС:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosα = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB \cdot AB \cdot cosα = 2AB^2 - 2AB^2 \cdot cosα$$

$$AB^2(2 - 2cosα) = AC^2$$

$$AB^2 = \frac{AC^2}{2 - 2cosα}$$

$$AB = \sqrt{\frac{AC^2}{2 - 2cosα}} = \frac{AC}{\sqrt{2 - 2cosα}} = \frac{l \cdot cosβ}{\sqrt{2 - 2cosα}}$$

$$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB^2 \cdot sinα = \frac{1}{2} \cdot \frac{l^2 \cdot cos^2β}{2 - 2cosα} \cdot sinα = \frac{l^2 cos^2β sinα}{4 - 4cosα}$$

Найдем объем призмы:

$$V = S_{ABC} \cdot CC_1 = \frac{l^2 cos^2β sinα}{4 - 4cosα} \cdot l \cdot sinβ = \frac{l^3 cos^2β sinα sinβ}{4 - 4cosα}$$

Ответ: $$V = \frac{l^3 cos^2β sinα sinβ}{4 - 4cosα}$$