452 Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если: a) ∠BAC=120°, АВ = 5 см, АС=3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см²; 6) ∠AB₁C = 60°, АВ₁ =3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ, прямой.

a) Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, ∠BAC = 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см, наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см².

Найти: V

Решение:

Площади боковых граней призмы:

$$S_{AA_1B_1B}=AB \cdot BB_1 = 5 \cdot BB_1$$

$$S_{AA_1C_1C}=AC \cdot CC_1 = 3 \cdot CC_1$$

$$S_{BB_1C_1C}=BC \cdot BB_1 $$

Т.к. призма прямая, то $$AA_1 = BB_1 = CC_1$$, значит наибольшая площадь боковой грани $$S_{BB_1C_1C}=BC \cdot BB_1 = 35$$ см², тогда

$$BB_1 = \frac{35}{BC}$$

По теореме косинусов найдем сторону ВС:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos∠BAC = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot cos120° = 25 + 9 - 30 \cdot (- \frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$$

$$BC = \sqrt{49} = 7$$ см

Тогда $$BB_1 = \frac{35}{7} = 5$$ см

Найдем площадь основания (треугольника АВС):

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin∠BAC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot sin120° = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$$ см²

Найдем объем призмы:

$$V = S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см³

Ответ: $$V = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см³

б) Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, ∠AB₁C = 60°, АВ₁ =3, СВ₁ = 2 , двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

Найти: V

Решение:

Т.к. двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой, то $$B_1B \perp ABC$$

Рассмотрим треугольник $$AB_1C$$. По теореме косинусов найдем сторону АС:

$$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot cos∠AB_1C = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot cos60° = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$$

$$AC = \sqrt{7}$$

Рассмотрим треугольники $$ABB_1$$ и $$CBB_1$$. Они прямоугольные, т.к. призма прямая.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AB_1^2 - BB_1^2$$

$$BC^2 = CB_1^2 - BB_1^2$$

Пусть $$BB_1 = h$$, тогда $$AB^2 = 9 - h^2$$, $$BC^2 = 4 - h^2$$, т.е. $$AB = \sqrt{9 - h^2}$$, $$BC = \sqrt{4 - h^2}$$

Рассмотрим треугольник АВС. По теореме косинусов найдем угол ∠ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠ABC$$

$$7 = 9 - h^2 + 4 - h^2 - 2 \cdot \sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2} \cdot cos∠ABC$$

$$2 \cdot \sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2} \cdot cos∠ABC = 6 - 2h^2$$

$$\sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2} \cdot cos∠ABC = 3 - h^2$$

Домножим обе части на sin∠ABC, получим:

$$\sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2} \cdot sin∠ABC \cdot cos∠ABC = (3 - h^2) sin∠ABC$$

$$\sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2} \cdot \frac{1}{2} sin2∠ABC = (3 - h^2) sin∠ABC$$

Площадь треугольника АВС можно найти двумя способами:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin∠ABC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2} \cdot sin∠ABC$$

$$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$$, где $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{\sqrt{9 - h^2} + \sqrt{4 - h^2} + \sqrt{7}}{2}$$

Выразим sin∠ABC:

$$sin∠ABC = \frac{2S_{ABC}}{\sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2}}$$

Тогда

$$\sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2} \cdot \frac{1}{2} sin2∠ABC = (3 - h^2) \cdot \frac{2S_{ABC}}{\sqrt{9 - h^2} \cdot \sqrt{4 - h^2}}$$

$$V = S_{ABC} \cdot BB_1 = S_{ABC} \cdot h$$

Т.к. недостаточно данных, то невозможно найти объем призмы.

Ответ: недостаточно данных.