1055 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: a) M (-3; 5), N (7; -3); 6) M (2;-1), N (4; 3).

Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом r имеет вид: $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$. Центр окружности является серединой диаметра MN. Найдем координаты центра и радиус в каждом случае:

а) M(-3; 5), N(7; -3). Координаты центра: $$a = \frac{-3+7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$, $$b = \frac{5+(-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$. Центр: (2; 1). Радиус: $$r = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}\sqrt{(7-(-3))^2 + (-3-5)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{10^2 + (-8)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{100 + 64} = \frac{1}{2}\sqrt{164} = \frac{1}{2}2\sqrt{41} = \sqrt{41}$$. Уравнение окружности: $$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 41$$.

б) M(2; -1), N(4; 3). Координаты центра: $$a = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$, $$b = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$. Центр: (3; 1). Радиус: $$r = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}\sqrt{(4-2)^2 + (3-(-1))^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 4^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16} = \frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{1}{2}2\sqrt{5} = \sqrt{5}$$. Уравнение окружности: $$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 5$$.

Ответ: а) $$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 41$$; б) $$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 5$$.