9. Найдите число корней уравнения (sin x - 1) tgx = 0 на промежут- ке [0; 20π].

Решим уравнение $$(sin x - 1) tg x = 0$$ на промежутке $$[0; 20\pi]$$.

Уравнение распадается на два:

1. $$sin x - 1 = 0$$, откуда $$sin x = 1$$. Решения этого уравнения $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$.
2. $$tg x = 0$$, откуда $$x = \pi n, n \in Z$$.

Проверим, чтобы решения первого уравнения не обращали в бесконечность тангенс (то есть не совпадали с точками $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$). Так как решения первого уравнения имеют вид $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, то они не совпадают с $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ и являются решениями исходного уравнения.

Проверим, чтобы решения второго уравнения не обращали косинус в ноль (то есть не совпадали с точками $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$). Так как решения второго уравнения имеют вид $$x = \pi n$$, то они не совпадают с $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ и являются решениями исходного уравнения.

Найдем решения на промежутке $$[0; 20\pi]$$.

1. Для первого уравнения: $$0 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 20\pi$$, откуда $$-\frac{\pi}{2} \le 2\pi n \le \frac{39\pi}{2}$$, $$-\frac{1}{4} \le n \le \frac{39}{4}$$, $$0 \le n \le 9$$. Итого 10 решений.
2. Для второго уравнения: $$0 \le \pi n \le 20\pi$$, откуда $$0 \le n \le 20$$. Итого 21 решение.

Общее количество решений: $$10 + 21 = 31$$.

Ответ: 31