8. Решите уравнение sin²x - 4 sin x cos x = 5cos²x.

Решим уравнение $$sin^2 x - 4 sin x cos x = 5 cos^2 x$$.

Если $$cos x = 0$$, то $$sin^2 x = 1$$, и уравнение принимает вид:

$$1 - 0 = 0$$, что неверно. Значит, $$cos x
e 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$cos^2 x$$:

$$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} - 4 \frac{sin x cos x}{cos^2 x} = 5 \frac{cos^2 x}{cos^2 x}$$

$$tg^2 x - 4 tg x = 5$$

$$tg^2 x - 4 tg x - 5 = 0$$

Пусть $$y = tg x$$, тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 - 4y - 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$y_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

$$y_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

Вернемся к замене $$y = tg x$$:

1. $$tg x = 5$$. Решение уравнения: $$x = arctg(5) + \pi n, n \in Z$$
2. $$tg x = -1$$. Решение уравнения: $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = arctg(5) + \pi n, n \in Z$$; $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$