10. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень урав- нения √2 cos (15°-2x)+1=0.

Решим уравнение $$\sqrt{2} cos(15^\circ - 2x) + 1 = 0$$.

$$\sqrt{2} cos(15^\circ - 2x) = -1$$

$$cos(15^\circ - 2x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$15^\circ - 2x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 360^\circ n, n \in Z$$

$$15^\circ - 2x = \pm 135^\circ + 360^\circ n, n \in Z$$

$$2x = 15^\circ \mp 135^\circ - 360^\circ n, n \in Z$$

$$x = 7.5^\circ \mp 67.5^\circ - 180^\circ n, n \in Z$$

1. $$x = 7.5^\circ - 67.5^\circ - 180^\circ n, n \in Z$$

   $$x = -60^\circ - 180^\circ n, n \in Z$$

   Чтобы найти наибольший отрицательный корень, нужно взять $$n = -1$$:

   $$x = -60^\circ - 180^\circ (-1) = -60^\circ + 180^\circ = 120^\circ$$ - не подходит (положительный корень).

   Берем $$n = 0$$: $$x = -60^\circ$$ - наибольший отрицательный корень.

2. $$x = 7.5^\circ + 67.5^\circ - 180^\circ n, n \in Z$$

   $$x = 75^\circ - 180^\circ n, n \in Z$$

   Чтобы найти наибольший отрицательный корень, нужно взять $$n = 1$$:

   $$x = 75^\circ - 180^\circ = -105^\circ$$.

Наибольший отрицательный корень: $$-60^\circ$$.

Ответ: -60