10. Найдите число целых решений неравенства |x + 1|x²+2x ≤ |x + 1|3.

Решим неравенство $$|x+1|^{x^2+2x} \le |x+1|^3$$. Рассмотрим несколько случаев.

1) $$|x+1| = 0$$, то есть $$x = -1$$. Тогда неравенство имеет вид $$0^1 \le 0^3$$, то есть $$0 \le 0$$, что верно. Значит, $$x = -1$$ является решением неравенства.

2) $$|x+1| = 1$$, то есть $$x+1 = 1$$ или $$x+1 = -1$$. Тогда $$x = 0$$ или $$x = -2$$.

При $$x = 0$$ неравенство имеет вид $$1^0 \le 1^3$$, то есть $$1 \le 1$$, что верно. Значит, $$x = 0$$ является решением неравенства.

При $$x = -2$$ неравенство имеет вид $$|-2+1|^{(-2)^2+2\cdot(-2)} \le |-2+1|^3$$, то есть $$1^0 \le 1^3$$, то есть $$1 \le 1$$, что верно. Значит, $$x = -2$$ является решением неравенства.

3) $$|x+1| > 1$$, то есть $$x+1 > 1$$ или $$x+1 < -1$$. Тогда $$x > 0$$ или $$x < -2$$. В этом случае можно перейти к неравенству для показателей: $$x^2 + 2x \le 3$$.

$$x^2 + 2x - 3 \le 0$$.

$$(x + 3)(x - 1) \le 0$$.

Методом интервалов находим, что $$-3 \le x \le 1$$.

С учетом условия $$x > 0$$ или $$x < -2$$ получаем $$0 < x \le 1$$ или $$-3 \le x < -2$$.

Целые решения: $$x = -3$$, $$x = 1$$.

4) $$0 < |x+1| < 1$$, то есть $$-1 < x+1 < 1$$ и $$x+1
e 0$$. Тогда $$-2 < x < 0$$ и $$x
e -1$$. В этом случае при переходе к неравенству для показателей знак неравенства изменится: $$x^2 + 2x \ge 3$$.

$$x^2 + 2x - 3 \ge 0$$.

$$(x + 3)(x - 1) \ge 0$$.

Методом интервалов находим, что $$x \le -3$$ или $$x \ge 1$$.

С учетом условия $$-2 < x < 0$$ и $$x
e -1$$ получаем, что нет решений.

Таким образом, целые решения: $$-3, -2, -1, 0, 1$$. Количество целых решений равно 5.

Ответ: 5