6. Определите вид неравенства 7х + 71-х ≥ 8 и решите его.

Неравенство $$7^x + 7^{1-x} \ge 8$$ является показательным неравенством.

Решим его. Пусть $$t = 7^x$$, тогда $$7^{1-x} = \frac{7}{7^x} = \frac{7}{t}$$.

Неравенство примет вид $$t + \frac{7}{t} \ge 8$$. Умножим обе части на $$t > 0$$: $$t^2 + 7 \ge 8t$$.

$$t^2 - 8t + 7 \ge 0$$.

Найдем корни квадратного трехчлена $$t^2 - 8t + 7 = 0$$: $$t_1 = 1, t_2 = 7$$.

Тогда $$t^2 - 8t + 7 = (t - 1)(t - 7) \ge 0$$.

Методом интервалов находим, что $$t \le 1$$ или $$t \ge 7$$.

Вернемся к переменной x: $$7^x \le 1$$ или $$7^x \ge 7$$.

$$7^x \le 7^0$$ или $$7^x \ge 7^1$$. Так как основание степени 7 больше 1, то функция $$y = 7^x$$ является возрастающей, и знак неравенства не изменится при переходе к неравенству для показателей:

$$x \le 0$$ или $$x \ge 1$$.

Ответ: $$x \le 0$$ или $$x \ge 1$$