9. Решите неравенство 9х+√2x-1 -5.3x+√2x-1 ≤ 36.

Решим неравенство $$9^{x+\sqrt{2x-1}} - 5 \cdot 3^{x+\sqrt{2x-1}} \le 36$$. Заметим, что должно выполняться $$2x - 1 \ge 0$$, то есть $$x \ge \frac{1}{2}$$.

Пусть $$t = 3^{x+\sqrt{2x-1}}$$, тогда $$9^{x+\sqrt{2x-1}} = (3^{x+\sqrt{2x-1}})^2 = t^2$$.

Неравенство примет вид $$t^2 - 5t \le 36$$ или $$t^2 - 5t - 36 \le 0$$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $$t^2 - 5t - 36 = (t - 9)(t + 4) \le 0$$.

Методом интервалов находим, что $$-4 \le t \le 9$$.

Вернемся к переменной x: $$-4 \le 3^{x+\sqrt{2x-1}} \le 9$$.

Так как $$3^{x+\sqrt{2x-1}} > 0$$ при любом x, то неравенство $$-4 \le 3^{x+\sqrt{2x-1}}$$ выполняется автоматически.

Остается решить неравенство $$3^{x+\sqrt{2x-1}} \le 9$$. Запишем 9 как степень с основанием 3: $$3^{x+\sqrt{2x-1}} \le 3^2$$. Так как основание степени 3 больше 1, то функция $$y = 3^x$$ является возрастающей, и знак неравенства не изменится при переходе к неравенству для показателей:

$$x + \sqrt{2x-1} \le 2$$.

$$\sqrt{2x-1} \le 2 - x$$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести обе части в квадрат: $$2x - 1 \le (2 - x)^2$$.

$$2x - 1 \le 4 - 4x + x^2$$.

$$x^2 - 6x + 5 \ge 0$$.

$$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) \ge 0$$.

Методом интервалов находим, что $$x \le 1$$ или $$x \ge 5$$.

С учетом условия $$x \ge \frac{1}{2}$$ получаем $$ \frac{1}{2} \le x \le 1$$ или $$x \ge 5$$.

Кроме того, должно выполняться $$2 - x \ge 0$$, то есть $$x \le 2$$.

С учетом этого условия получаем окончательный ответ: $$ \frac{1}{2} \le x \le 1$$.

Ответ: $$ \frac{1}{2} \le x \le 1$$