8. При каких значениях переменной х график функции y = 4sin2x + 2sin2x не ниже графика функции у = 2?

Необходимо найти значения x, при которых график функции $$y = 4^{\sin 2x} + 2^{\sin 2x}$$ не ниже графика функции $$y = 2$$, то есть $$4^{\sin 2x} + 2^{\sin 2x} \ge 2$$.

Пусть $$t = 2^{\sin 2x}$$, тогда $$4^{\sin 2x} = (2^{\sin 2x})^2 = t^2$$.

Неравенство примет вид $$t^2 + t \ge 2$$ или $$t^2 + t - 2 \ge 0$$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $$t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2) \ge 0$$.

Методом интервалов находим, что $$t \le -2$$ или $$t \ge 1$$.

Вернемся к переменной x: $$2^{\sin 2x} \le -2$$ или $$2^{\sin 2x} \ge 1$$.

Так как $$2^{\sin 2x} > 0$$ при любом x, то неравенство $$2^{\sin 2x} \le -2$$ не имеет решений.

Рассмотрим неравенство $$2^{\sin 2x} \ge 1$$. Запишем 1 как степень с основанием 2: $$2^{\sin 2x} \ge 2^0$$. Так как основание степени 2 больше 1, то функция $$y = 2^x$$ является возрастающей, и знак неравенства не изменится при переходе к неравенству для показателей:

$$\sin 2x \ge 0$$.

Общее решение этого неравенства: $$2\pi k \le 2x \le \pi + 2\pi k$$, где k - целое число.

Разделим на 2: $$\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + \pi k$$, где k - целое число.

Ответ: $$\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + \pi k$$, где k - целое число