7. Найдите координаты точки №,лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек Р(2;4) и К(5;-1).

7. Пусть точка N имеет координаты (x; 0), так как она лежит на оси абсцисс. Требуется найти x, чтобы NP = NK.

$$NP = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 16}$$

$$NK = \sqrt{(x - 5)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + 1}$$

Приравняем NP и NK: $$\sqrt{(x - 2)^2 + 16} = \sqrt{(x - 5)^2 + 1}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(x - 2)^2 + 16 = (x - 5)^2 + 1$$

$$x^2 - 4x + 4 + 16 = x^2 - 10x + 25 + 1$$

$$-4x + 20 = -10x + 26$$

$$6x = 6$$

$$x = 1$$

Точка N имеет координаты (1; 0).

Ответ: N(1; 0)