9. Решите треугольник АВС, если угол В = 30°, угол С = 105°, BC = = 3√2 см.

9. Решим треугольник ABC, если $$\angle B = 30^\circ$$, $$\angle C = 105^\circ$$, $$BC = 3\sqrt{2}$$ см.

Найдем угол A: $$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$$.

Используем теорему синусов: $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$.

$$\frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 105^\circ}$$.

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$.

$$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$$.

$$6 = 2AC = \frac{4AB}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$.

$$AC = 3$$ см.

$$AB = \frac{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$$ см.

Ответ: $$\angle A = 45^\circ$$, $$AC = 3$$ см, $$AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$$ см.