10. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если K (1; 7), L (−2; 4), М (2; 0). Найдите косинусы углов К и L.

Пусть даны координаты вершин треугольника KLM: K(1; 7), L(-2; 4), M(2; 0).

$$\vec{MK} = (1 - 2; 7 - 0) = (-1; 7)$$

$$\vec{ML} = (-2 - 2; 4 - 0) = (-4; 4)$$

$$\cos \angle M = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{ML}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{ML}|} = \frac{(-1)(-4) + (7)(4)}{\sqrt{(-1)^2 + 7^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 4^2}} = \frac{4 + 28}{\sqrt{1 + 49} \cdot \sqrt{16 + 16}} = \frac{32}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{32}} = \frac{32}{\sqrt{1600}} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$$

$$\vec{KM} = (2 - 1; 0 - 7) = (1; -7)$$

$$\vec{KL} = (-2 - 1; 4 - 7) = (-3; -3)$$

$$\cos \angle K = \frac{\vec{KM} \cdot \vec{KL}}{|\vec{KM}| \cdot |\vec{KL}|} = \frac{(1)(-3) + (-7)(-3)}{\sqrt{1^2 + (-7)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2}} = \frac{-3 + 21}{\sqrt{1 + 49} \cdot \sqrt{9 + 9}} = \frac{18}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}} = \frac{18}{\sqrt{900}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6$$

$$\vec{LK} = (1 - (-2); 7 - 4) = (3; 3)$$

$$\vec{LM} = (2 - (-2); 0 - 4) = (4; -4)$$

$$\cos \angle L = \frac{\vec{LK} \cdot \vec{LM}}{|\vec{LK}| \cdot |\vec{LM}|} = \frac{(3)(4) + (3)(-4)}{\sqrt{3^2 + 3^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-4)^2}} = \frac{12 - 12}{\sqrt{9 + 9} \cdot \sqrt{16 + 16}} = \frac{0}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{32}} = 0$$

Ответ: $$\cos \angle M = 0.8$$, $$\cos \angle K = 0.6$$, $$\cos \angle L = 0$$