6. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: М(-6;1), N(2;4), K(2;-2). а) Докажите, что треугольник MNK - равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины М.

6. а) Докажем, что треугольник MNK - равнобедренный.

Найдем длины сторон треугольника:

$$MN = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

$$NK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$$

$$MK = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

Так как MN = MK, то треугольник MNK - равнобедренный.

б) Найдем высоту, проведенную из вершины M.

Пусть H - основание высоты, проведенной из вершины M. Так как треугольник MNK равнобедренный, то высота MH является медианой, и точка H - середина стороны NK.

Найдем координаты точки H: $$H = (\frac{2 + 2}{2}; \frac{4 + (-2)}{2}) = (2; 1)$$.

Найдем длину высоты MH: $$MH = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$$.

Ответ: a) Доказано, что треугольник MNK - равнобедренный; б) Высота, проведенная из вершины M, равна 8.