580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме обратной теореме Виета: a) x² - 15x - 16 = 0; б) m² - 6m - 11 = 0; в) 12х2 - 4x - 1 = 0; г) t² - 6 = 0; д) 5х2 - 18x = 0; e) 2y² - 41 = 0.

Решим каждое уравнение и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

1. a) $$x^2 - 15x - 16 = 0$$
• Найдем дискриминант: $$D = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289$$
• Корни: $$x_1 = (15 + \sqrt{289})/2 = (15 + 17)/2 = 32/2 = 16$$, $$x_2 = (15 - \sqrt{289})/2 = (15 - 17)/2 = -2/2 = -1$$
• Проверка:
  • Сумма: $$16 + (-1) = 15$$
  • Произведение: $$16 \cdot (-1) = -16$$
2. б) $$m^2 - 6m - 11 = 0$$
• Дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80$$
• Корни: $$m_1 = (6 + \sqrt{80})/2 = (6 + 4\sqrt{5})/2 = 3 + 2\sqrt{5}$$, $$m_2 = (6 - \sqrt{80})/2 = (6 - 4\sqrt{5})/2 = 3 - 2\sqrt{5}$$
• Проверка:
  • Сумма: $$(3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$$
  • Произведение: $$(3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$$
3. в) $$12x^2 - 4x - 1 = 0$$
• Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4(12)(-1) = 16 + 48 = 64$$
• Корни: $$x_1 = (4 + \sqrt{64})/24 = (4 + 8)/24 = 12/24 = 1/2$$, $$x_2 = (4 - \sqrt{64})/24 = (4 - 8)/24 = -4/24 = -1/6$$
• Проверка:
  • Сумма: $$1/2 + (-1/6) = 3/6 - 1/6 = 2/6 = 1/3$$
  • Произведение: $$(1/2) \cdot (-1/6) = -1/12$$
4. г) $$t^2 - 6 = 0$$
• Корни: $$t_1 = \sqrt{6}$$, $$t_2 = -\sqrt{6}$$
• Проверка:
  • Сумма: $$\sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$$
  • Произведение: $$\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$$
5. д) $$5x^2 - 18x = 0$$
• $$x(5x - 18) = 0$$
• Корни: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 18/5 = 3.6$$
• Проверка:
  • Сумма: $$0 + 18/5 = 18/5$$
  • Произведение: $$0 \cdot (18/5) = 0$$
6. e) $$2y^2 - 41 = 0$$
• $$y^2 = 41/2$$
• Корни: $$y_1 = \sqrt{41/2}$$, $$y_2 = -\sqrt{41/2}$$
• Проверка:
  • Сумма: $$\sqrt{41/2} + (-\sqrt{41/2}) = 0$$
  • Произведение: $$\sqrt{41/2} \cdot (-\sqrt{41/2}) = -41/2$$

Ответ: См. решения выше.