1137 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A (2; 8), B(-1; 5), C (3; 1).

Для нахождения косинусов углов треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника, используя координаты вершин:

$$ AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

$$ BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

$$ AC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 8)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Теперь найдем косинусы углов:

$$ cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18 + 50 - 32}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0,6$$

$$ cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{18 + 32 - 50}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{0}{48} = 0$$

$$ cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(5\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{50 + 32 - 18}{2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{64}{80} = \frac{4}{5} = 0,8$$

Ответ: cos A = 0,6; cos B = 0; cos C = 0,8