1142 Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, если $$\vec{a}$$=3$$\vec{p}$$-2$$\vec{q}$$ и $$\vec{b}$$=\vec{p}$$+4$$\vec{q}$$, где $$\vec{p}$$ и $$\vec{q}$$—единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Так как векторы $$\vec{p}$$ и $$\vec{q}$$ единичные и взаимно перпендикулярные, то $$|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$$ и $$\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{p} - 2\vec{q}) \cdot (\vec{p} + 4\vec{q}) = 3(\vec{p} \cdot \vec{p}) + 12(\vec{p} \cdot \vec{q}) - 2(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 8(\vec{q} \cdot \vec{q})$$

Учитывая, что $$|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1$$ и $$\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$$, получаем: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{p}|^2 - 8|\vec{q}|^2 = 3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 = 3 - 8 = -5$$

Ответ: -5