1138 Найдите углы треугольника с вершинами $$A (-1; \sqrt{3})$$, $$B (1; -\sqrt{3})$$ и $$C(\frac{1}{2};\sqrt{3})$$.

Для нахождения углов треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника, используя координаты вершин:

$$ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$

$$ BC = \sqrt{(\frac{1}{2} - 1)^2 + (\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 12} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$$

$$ AC = \sqrt{(\frac{1}{2} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$$

Теперь найдем косинусы углов:

$$ cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{4^2 + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2}{2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{16 + \frac{9}{4} - \frac{49}{4}}{12} = \frac{\frac{64+9-49}{4}}{12} = \frac{24}{4 \cdot 12} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$$ Тогда угол А равен 60 градусам.

$$ cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{4^2 + (\frac{7}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2}{2 \cdot 4 \cdot \frac{7}{2}} = \frac{16 + \frac{49}{4} - \frac{9}{4}}{28} = \frac{\frac{64+49-9}{4}}{28} = \frac{104}{4 \cdot 28} = \frac{104}{112} = \frac{13}{14}$$ Тогда угол В равен arccos(13/14), примерно 21,79 градусов.

$$ cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{7}{2})^2 - 4^2}{2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2}} = \frac{\frac{9}{4} + \frac{49}{4} - 16}{\frac{21}{2}} = \frac{\frac{9+49-64}{4}}{\frac{21}{2}} = \frac{-\frac{6}{4}}{\frac{21}{2}} = -\frac{6}{4} \cdot \frac{2}{21} = -\frac{12}{84} = -\frac{1}{7}$$ Тогда угол С равен arccos(-1/7), примерно 98,21 градус.

Проверим, что сумма углов треугольника равна 180 градусов:$$ 60 + 21,79 + 98,21 = 180$$

Ответ: углы треугольника: A = 60°, B ≈ 21,79°, C ≈ 98,21°