211. Найдите первый член арифметической прогрессии, если известно, что сумма 11 её первых членов равна 165, а её разность равна 7.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $$a_1$$, а разность равна $$d=7$$. Сумма 11 первых членов арифметической прогрессии выражается формулой:

$$S_{11} = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11$$

По условию, $$S_{11} = 165$$ и $$d = 7$$. Подставим эти значения в формулу:

$$165 = \frac{2a_1 + 10 \cdot 7}{2} \cdot 11$$ $$165 = (a_1 + 35) \cdot 11$$

Разделим обе части на 11:

$$15 = a_1 + 35$$ $$a_1 = 15 - 35$$ $$a_1 = -20$$

Ответ: -20