218. Пятый член арифметической прогрессии равен 14, а сумма первых десяти членов этой же арифметической прогрессии равна 155. Найдите произведение третьего и пятого членов этой прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $$a_1$$, а разность равна $$d$$. Тогда пятый член равен $$a_5 = a_1 + 4d$$. По условию, пятый член равен 14:

$$a_1 + 4d = 14$$ (1)

Сумма 10 первых членов арифметической прогрессии равна:

$$S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10$$

По условию, $$S_{10} = 155$$. Подставим это значение:

$$155 = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10$$ $$155 = (2a_1 + 9d) \cdot 5$$

Разделим обе части на 5:

$$31 = 2a_1 + 9d$$ (2)

Умножим уравнение (1) на 2:

$$2a_1 + 8d = 28$$ (3)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):

$$2a_1 + 9d - (2a_1 + 8d) = 31 - 28$$ $$d = 3$$

Подставим значение $$d$$ в уравнение (1):

$$a_1 + 4 \cdot 3 = 14$$ $$a_1 + 12 = 14$$ $$a_1 = 2$$

Тогда третий член равен $$a_3 = a_1 + 2d = 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$$.

Произведение третьего и пятого членов прогрессии равно:

$$a_3 \cdot a_5 = 8 \cdot 14 = 112$$

Ответ: 112