09. Сумма первого и седьмого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение третьего и шестого её членов равно 10. Найдите сумму 8 первых членов этой прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $$a_1$$, а разность равна $$d$$. Тогда седьмой член равен $$a_7 = a_1 + 6d$$. По условию, сумма первого и седьмого членов равна 14:

$$a_1 + a_1 + 6d = 14$$ $$2a_1 + 6d = 14$$ $$a_1 + 3d = 7$$ (1)

Третий член равен $$a_3 = a_1 + 2d$$, а шестой член равен $$a_6 = a_1 + 5d$$. Произведение третьего и шестого членов равно 10:

$$(a_1 + 2d)(a_1 + 5d) = 10$$ (2)

Выразим $$a_1$$ из уравнения (1):

$$a_1 = 7 - 3d$$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$$(7 - 3d + 2d)(7 - 3d + 5d) = 10$$ $$(7 - d)(7 + 2d) = 10$$ $$49 + 14d - 7d - 2d^2 = 10$$ $$49 + 7d - 2d^2 = 10$$ $$2d^2 - 7d - 39 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$d$$. Дискриминант равен:

$$D = (-7)^2 - 4 Imes 2 Imes (-39) = 49 + 312 = 361$$

Корни:

$$d_1 = \frac{7 + \sqrt{361}}{4} = \frac{7 + 19}{4} = \frac{26}{4} = 6.5$$ $$d_2 = \frac{7 - \sqrt{361}}{4} = \frac{7 - 19}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$

Так как прогрессия возрастающая, то разность $$d$$ должна быть положительной. Следовательно, $$d = 6.5$$.

Найдем $$a_1$$:

$$a_1 = 7 - 3d = 7 - 3 Imes 6.5 = 7 - 19.5 = -12.5$$

Сумма 8 первых членов арифметической прогрессии равна:

$$S_8 = \frac{2a_1 + 7d}{2} Imes 8 = (2a_1 + 7d) Imes 4$$ $$S_8 = (2 Imes (-12.5) + 7 Imes 6.5) Imes 4 = (-25 + 45.5) Imes 4 = 20.5 Imes 4 = 82$$

Ответ: 82