219. Третий член арифметической прогрессии равен 5. А сумма первых десяти членов равна 75. Найдите сумму квадратов второго и четвёртого членов этой арифметической прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $$a_1$$, а разность равна $$d$$. Тогда третий член равен $$a_3 = a_1 + 2d$$. По условию, третий член равен 5:

$$a_1 + 2d = 5$$ (1)

Сумма 10 первых членов арифметической прогрессии равна:

$$S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10$$

По условию, $$S_{10} = 75$$. Подставим это значение:

$$75 = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10$$ $$75 = (2a_1 + 9d) \cdot 5$$

Разделим обе части на 5:

$$15 = 2a_1 + 9d$$ (2)

Выразим $$a_1$$ из уравнения (1):

$$a_1 = 5 - 2d$$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$$15 = 2(5 - 2d) + 9d$$ $$15 = 10 - 4d + 9d$$ $$5 = 5d$$ $$d = 1$$

Найдем $$a_1$$:

$$a_1 = 5 - 2d = 5 - 2 \cdot 1 = 3$$

Второй член равен $$a_2 = a_1 + d = 3 + 1 = 4$$.

Четвертый член равен $$a_4 = a_1 + 3d = 3 + 3 \cdot 1 = 6$$.

Сумма квадратов второго и четвертого членов равна:

$$a_2^2 + a_4^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$$

Ответ: 52