205. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (а), если: 1) a₁ = 6, a₁₃ = 42; 2) a₆ = 45, a₁₄ = -43.

1) a₁ = 6, a₁₃ = 42

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем разность арифметической прогрессии (d).

\[ a_{13} = a_1 + 12d \]

\[ 42 = 6 + 12d \]

\[ 12d = 36 \]

\[ d = 3 \]

• Шаг 2: Найдем десятый член арифметической прогрессии.

\[ a_{10} = a_1 + 9d = 6 + 9 \cdot 3 = 6 + 27 = 33 \]

• Шаг 3: Найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии.

\[ S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{6 + 33}{2} \cdot 10 = \frac{39}{2} \cdot 10 = 39 \cdot 5 = 195 \]

Ответ: 195

2) a₆ = 45, a₁₄ = -43

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем разность арифметической прогрессии (d).

\[ a_{14} = a_6 + 8d \]

\[ -43 = 45 + 8d \]

\[ 8d = -88 \]

\[ d = -11 \]

• Шаг 2: Найдем первый член арифметической прогрессии.

\[ a_6 = a_1 + 5d \]

\[ 45 = a_1 + 5 \cdot (-11) \]

\[ 45 = a_1 - 55 \]

\[ a_1 = 100 \]

• Шаг 3: Найдем десятый член арифметической прогрессии.

\[ a_{10} = a_1 + 9d = 100 + 9 \cdot (-11) = 100 - 99 = 1 \]

• Шаг 4: Найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии.

\[ S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{100 + 1}{2} \cdot 10 = \frac{101}{2} \cdot 10 = 101 \cdot 5 = 505 \]

Ответ: 505