213. Найдите разность и тринадцатый член арифметической прогрессии, первый член которой равен 9, а сумма десяти первых членов равна -15.

Для нахождения разности и тринадцатого члена арифметической прогрессии, воспользуемся следующими формулами:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

$$a_n = a_1 + d(n-1)$$

1. Известно, что первый член равен 9:
   • $$a_1 = 9$$
2. Известно, что сумма десяти первых членов равна -15:
   • $$S_{10} = -15$$
3. Найдем разность арифметической прогрессии:
   • $$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10$$
   • $$-15 = \frac{2(9) + d(9)}{2} \cdot 10$$
   • $$-15 = (18 + 9d) \cdot 5$$
   • $$-3 = 18 + 9d$$
   • $$9d = -21$$
   • $$d = -\frac{21}{9} = -\frac{7}{3}$$
4. Найдем тринадцатый член арифметической прогрессии:
   • $$a_{13} = a_1 + d(13-1) = 9 + (-\frac{7}{3})(12) = 9 - 7(4) = 9 - 28 = -19$$

Ответ: $$d = -\frac{7}{3}$$, $$a_{13} = -19$$