207. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (а), если a₇ + a₁₃ = 21 и a₃ + a₁₂ - a₁₅ = 3.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем уравнения системы, выразив члены прогрессии через a₁ и d.

\[ a_7 = a_1 + 6d \]

\[ a_{13} = a_1 + 12d \]

\[ a_3 = a_1 + 2d \]

\[ a_{12} = a_1 + 11d \]

\[ a_{15} = a_1 + 14d \]

Подставим в уравнения:

\[ a_1 + 6d + a_1 + 12d = 21 \Rightarrow 2a_1 + 18d = 21 \]

\[ a_1 + 2d + a_1 + 11d - (a_1 + 14d) = 3 \Rightarrow a_1 - d = 3 \]

• Шаг 2: Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2a_1 + 18d = 21 \\ a_1 - d = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a_1 + 18d = 21 \\ a_1 = 3 + d \end{cases} \]

\[ 2(3 + d) + 18d = 21 \]

\[ 6 + 2d + 18d = 21 \]

\[ 20d = 15 \]

\[ d = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0.75 \]

\[ a_1 = 3 + 0.75 = 3.75 \]

• Шаг 3: Найдем сумму двадцати первых членов прогрессии.

\[ S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 3.75 + 19 \cdot 0.75}{2} \cdot 20 \]

\[ S_{20} = (3.75 + 19 \cdot 0.375) \cdot 20 = (3.75 + 7.125) \cdot 20 \]

\[ S_{20} = 10.875 \cdot 20 = 217.5 \]

Ответ: 217.5