Найдите значение выражения \(\frac{2\log_3^2 12-4\log_3^2 2+\log_3^2 12+4\log_3^2 2}{3\log_3 12+6\log_3 2}\).

Обозначим \(a=\log_3 12\), \(b=\log_3 2\). В числителе противоположные слагаемые с \(b^2\) сокращаются: \(2a^2-4b^2+a^2+4b^2=3a^2\).

Знаменатель равен \(3a+6b=3(a+2b)\). Поэтому значение выражения — \(\frac{a^2}{a+2b}\).

Поскольку \(a=\log_3 12=1+2b\), получаем \(\frac{(1+2b)^2}{1+4b}\), где \(b=\log_3 2\).

Ответ: \(\frac{(\log_3 12)^2}{\log_3 12+2\log_3 2}\).