12) Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=10 см, ВС=8 см, ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

12) Дано: пирамида $$DABC$$, в основании треугольник $$ABC$$, $$AB = AC = 10 \text{ см}$$, $$BC = 8 \text{ см}$$, ребро $$AD \perp (ABC)$$, $$AD = 6 \text{ см}$$.

Найти: площадь боковой поверхности $$S_{\text{бок}}$$.

Решение:

1. Т.к. ребро $$AD$$ перпендикулярно плоскости основания, то $$AD$$ - высота пирамиды. $$AD \perp (ABC)$$, следовательно, $$AD \perp AB$$ и $$AD \perp AC$$. Треугольники $$ADB$$ и $$ADC$$ - прямоугольные.
2. Площадь треугольника $$ADB$$: $$S_{ADB} = \frac{1}{2} AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30 \text{ см}^2$$.
3. Площадь треугольника $$ADC$$: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30 \text{ см}^2$$.
4. Найдем $$DB$$ и $$DC$$ по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $$ADB$$ и $$ADC$$: $$DB = DC = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \text{ см}$$.
5. Найдем площадь треугольника $$DBC$$ по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника, $$a, b, c$$ - стороны треугольника. В нашем случае $$a = b = 2\sqrt{34}$$, $$c = 8$$. Полупериметр $$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2\sqrt{34} + 2\sqrt{34} + 8}{2} = \frac{4\sqrt{34} + 8}{2} = 2\sqrt{34} + 4 \text{ см}$$. Тогда площадь треугольника $$DBC$$: $$S_{DBC} = \sqrt{(2\sqrt{34}+4)(2\sqrt{34}+4-2\sqrt{34})(2\sqrt{34}+4-2\sqrt{34})(2\sqrt{34}+4-8)} = \sqrt{(2\sqrt{34}+4)(4)(4)(2\sqrt{34}-4)} = \sqrt{16(4 \cdot 34 - 16)} = \sqrt{16 \cdot (136 - 16)} = \sqrt{16 \cdot 120} = \sqrt{1920} = 8\sqrt{30} \text{ см}^2$$.
6. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней: $$S_{\text{бок}} = S_{ADB} + S_{ADC} + S_{DBC} = 30 + 30 + 8\sqrt{30} = 60 + 8\sqrt{30} \approx 103.86 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$S_{\text{бок}} = 60 + 8\sqrt{30} \text{ см}^2 \approx 103.86 \text{ см}^2$$