7) Основанием пирамиды DABС является треугольник АВС, у которого АВ=АС=4 см, ВС=6 см, ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 5 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

7) Дано: пирамида $$DABC$$, в основании треугольник $$ABC$$, $$AB = AC = 4 \text{ см}$$, $$BC = 6 \text{ см}$$, ребро $$AD \perp (ABC)$$, $$AD = 5 \text{ см}$$.

Найти: площадь боковой поверхности $$S_{\text{бок}}$$.

Решение:

1. Т.к. ребро $$AD$$ перпендикулярно плоскости основания, то $$AD$$ - высота пирамиды. $$AD \perp (ABC)$$, следовательно, $$AD \perp AB$$ и $$AD \perp AC$$. Треугольники $$ADB$$ и $$ADC$$ - прямоугольные.
2. Площадь треугольника $$ADB$$: $$S_{ADB} = \frac{1}{2} AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10 \text{ см}^2$$.
3. Площадь треугольника $$ADC$$: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10 \text{ см}^2$$.
4. Найдем $$DB$$ и $$DC$$ по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $$ADB$$ и $$ADC$$: $$DB = DC = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \text{ см}$$.
5. Найдем площадь треугольника $$DBC$$ по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника, $$a, b, c$$ - стороны треугольника. В нашем случае $$a = b = \sqrt{41}$$, $$c = 6$$. Полупериметр $$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{\sqrt{41} + \sqrt{41} + 6}{2} = \frac{2\sqrt{41} + 6}{2} = \sqrt{41} + 3 \text{ см}$$. Тогда площадь треугольника $$DBC$$: $$S_{DBC} = \sqrt{(\sqrt{41}+3)(\sqrt{41}+3-\sqrt{41})(\sqrt{41}+3-\sqrt{41})(\sqrt{41}+3-6)} = \sqrt{(\sqrt{41}+3)(3)(3)(\sqrt{41}-3)} = \sqrt{9(41-9)} = \sqrt{9 \cdot 32} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ см}^2$$.
6. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней: $$S_{\text{бок}} = S_{ADB} + S_{ADC} + S_{DBC} = 10 + 10 + 12\sqrt{2} = 20 + 12\sqrt{2} \approx 36.97 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$S_{\text{бок}} = 20 + 12\sqrt{2} \text{ см}^2 \approx 36.97 \text{ см}^2$$