10) В прямоугольном параллелепипеде в основании лежит квадрат, диагональ основания до=5 см, а диагональ параллелепипеда д=9 см. Вычислите высоту и площадь основания этого параллелепипеда.

10) Дано: прямоугольный параллелепипед, в основании квадрат, диагональ основания $$d_0 = 5 \text{ см}$$, диагональ параллелепипеда $$d = 9 \text{ см}$$.

Найти: высоту параллелепипеда $$h$$, площадь основания $$S_{\text{осн}}$$.

Решение:

1. Найдем сторону основания $$a$$. Т.к. в основании квадрат, то $$d_0 = a\sqrt{2}$$, следовательно, $$a = \frac{d_0}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$.
2. Площадь основания (квадрата) $$S_{\text{осн}} = a^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \text{ см}^2$$.
3. Найдем высоту параллелепипеда $$h$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, диагональю основания и высотой параллелепипеда. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{d^2 - d_0^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \approx 7.48 \text{ см}$$.

Ответ: $$h = 2\sqrt{14} \text{ см} \approx 7.48 \text{ см}$$, $$S_{\text{осн}} = 12.5 \text{ см}^2$$