8) В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 8 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

8) Дано: прямоугольный параллелепипед, стороны основания $$a = 3 \text{ см}$$, $$b = 8 \text{ см}$$, диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $$\alpha = 45^\circ$$.

Найти: боковое ребро параллелепипеда $$h$$.

Решение:

1. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро перпендикулярно основанию, следовательно, оно является высотой.
2. Диагональ основания $$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \text{ см}$$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, диагональю основания и высотой параллелепипеда. Угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания равен $$45^\circ$$. Тогда $$tg(45^\circ) = \frac{h}{d}$$, следовательно, $$h = d \cdot tg(45^\circ) = \sqrt{73} \cdot 1 = \sqrt{73} \approx 8.54 \text{ см}$$.

Ответ: боковое ребро параллелепипеда равно $$\sqrt{73} \text{ см} \approx 8.54 \text{ см}$$