696. Отметьте на координатной прямой числа, являющиеся корнями уравнения: a) $$(x + 2)^2 = \frac{x}{2}+1$$; б) $$(2-\frac{x}{2})^2 = 4-x$$; в) $$(|x| - 3)^2 + 3 = |x|$$; г) $$3|x| + 6 = (2 + |x|)^2$$.

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. а) $$(x + 2)^2 = \frac{x}{2}+1$$

   Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

   $$x^2 + 4x + 4 = \frac{x}{2} + 1$$

   $$2x^2 + 8x + 8 = x + 2$$

   $$2x^2 + 7x + 6 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$

   $$x_1 = \frac{-7 + 1}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$$

   $$x_2 = \frac{-7 - 1}{4} = -\frac{8}{4} = -2$$

   Отметим точки -1,5 и -2 на координатной прямой:

   <-------------------------------------------------->
                   *      *
                  -2   -1,5
   

   Ответ: -2; -1,5

2. б) $$(2-\frac{x}{2})^2 = 4-x$$

   Раскроем скобки:

   $$4 - 2x + \frac{x^2}{4} = 4 - x$$

   Умножим на 4:

   $$16 - 8x + x^2 = 16 - 4x$$

   $$x^2 - 4x = 0$$

   $$x(x - 4) = 0$$

   $$x_1 = 0; x_2 = 4$$

   Отметим точки 0 и 4 на координатной прямой:

   <-------------------------------------------------->
              *                      *
             0                      4
   

   Ответ: 0; 4

3. в) $$(|x| - 3)^2 + 3 = |x|$$

   Пусть $$t = |x|$$, тогда уравнение примет вид:

   $$(t - 3)^2 + 3 = t$$

   $$t^2 - 6t + 9 + 3 = t$$

   $$t^2 - 7t + 12 = 0$$

   $$D = 49 - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$

   $$t_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4$$

   $$t_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3$$

   Вернемся к замене:

   $$|x| = 4$$ или $$|x| = 3$$

   $$x = \pm 4$$ или $$x = \pm 3$$

   Отметим точки -4, -3, 3 и 4 на координатной прямой:

   <-------------------------------------------------->
         *      *                 *      *
        -4     -3                 3     4
   

   Ответ: -4; -3; 3; 4

4. г) $$3|x| + 6 = (2 + |x|)^2$$

   Пусть $$t = |x|$$, тогда уравнение примет вид:

   $$3t + 6 = (2 + t)^2$$

   $$3t + 6 = 4 + 4t + t^2$$

   $$t^2 + t - 2 = 0$$

   $$D = 1 + 4 \cdot 2 = 9$$

   $$t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

   $$t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$

   Вернемся к замене:

   $$|x| = 1$$ или $$|x| = -2$$ (не имеет решений)

   $$x = \pm 1$$

   Отметим точки -1 и 1 на координатной прямой:

   <-------------------------------------------------->
             *          *
            -1          1
   

   Ответ: -1; 1