697. Сравните больший корень первого уравнения с меньшим корнем второго: а) $$2^{|x|+1} = 4$$ и $$(3x - 2)^2 - 6x + 4 = 0$$; б) $$|5x - 3| = 1$$ и $$2(x - 1)^2 + 1 = x$$.

а) $$2^{|x|+1} = 4$$ и $$(3x - 2)^2 - 6x + 4 = 0$$

Решим первое уравнение:

$$2^{|x|+1} = 2^2$$

$$|x| + 1 = 2$$

$$|x| = 1$$

$$x = \pm 1$$. Больший корень равен 1.

Решим второе уравнение:

$$(3x - 2)^2 - 6x + 4 = 0$$

$$9x^2 - 12x + 4 - 6x + 4 = 0$$

$$9x^2 - 18x + 8 = 0$$

$$D = 18^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 324 - 288 = 36$$

$$x_1 = \frac{18 + 6}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$$

$$x_2 = \frac{18 - 6}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$

Меньший корень равен $$\frac{2}{3}$$

Сравним больший корень первого уравнения с меньшим корнем второго уравнения:

$$1 > \frac{2}{3}$$

Ответ: Больший корень первого уравнения больше меньшего корня второго уравнения.

б) $$|5x - 3| = 1$$ и $$2(x - 1)^2 + 1 = x$$.

Решим первое уравнение:

$$|5x - 3| = 1$$

$$5x - 3 = 1$$ или $$5x - 3 = -1$$

$$5x = 4$$ или $$5x = 2$$

$$x = \frac{4}{5}$$ или $$x = \frac{2}{5}$$

Больший корень равен $$\frac{4}{5}$$

Решим второе уравнение:

$$2(x - 1)^2 + 1 = x$$

$$2(x^2 - 2x + 1) + 1 = x$$

$$2x^2 - 4x + 2 + 1 = x$$

$$2x^2 - 5x + 3 = 0$$

$$D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

$$x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Меньший корень равен 1.

Сравним больший корень первого уравнения с меньшим корнем второго уравнения:

$$\frac{4}{5} < 1$$

Ответ: Больший корень первого уравнения меньше меньшего корня второго уравнения.