9. Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, равен 24см. Найти площадь квадрата, вписанного в данную окружность.

Решение:

Сторона правильного треугольника (a):

\[a = \frac{P}{3} = \frac{24}{3} = 8\] см

Радиус вписанной в треугольник окружности (r):

\[r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\] см

Радиус вписанной в треугольник окружности равен радиусу описанной около квадрата окружности. Значит, диагональ квадрата равна 2r.

Сторона квадрата (b):

\[b = \frac{2r}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\] см

Площадь квадрата (S):

\[S = b^2 = (\frac{4\sqrt{6}}{3})^2 = \frac{16 \cdot 6}{9} = \frac{32}{3}\] см²

Ответ: \(\frac{32}{3}\) см².