3. Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен 5см. Найти периметр треугольника. Найти площадь треугольника.

Решение:

В правильном треугольнике радиус описанной окружности связан со стороной (a) формулой:

\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Выразим сторону a через радиус R:

\[a = R \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\] см

Периметр (P) правильного треугольника:

\[P = 3a = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\] см

Площадь (S) правильного треугольника:

\[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(5\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}\] см²

Ответ: Периметр равен \(15\sqrt{3}\) см, площадь равна \(\frac{75\sqrt{3}}{4}\) см².