12) Периметр прямоугольника равен 24 см, а его площадь 32 см². Определите, чему равна длина и ширина прямоугольника?

Для решения данной задачи составим систему уравнений, используя формулы периметра и площади прямоугольника:

Периметр прямоугольника:

$$P = 2(a + b) = 24$$

Площадь прямоугольника:

$$S = a \cdot b = 32$$

Выразим из первого уравнения сумму сторон:

$$a + b = \frac{24}{2} = 12$$

Выразим одну из сторон, например, b:

$$b = 12 - a$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$a \cdot (12 - a) = 32$$

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

$$12a - a^2 = 32$$ $$a^2 - 12a + 32 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$$

Корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = 8$$ $$a_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 4}{2} = 4$$

Найдем соответствующие значения b:

Если a = 8:

$$b = 12 - 8 = 4$$

Если a = 4:

$$b = 12 - 4 = 8$$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 4 см.

Ответ: 8 см и 4 см.