1) Площадь равнобедренного треугольника равна 196√3. Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.

Пусть $$S$$ - площадь равнобедренного треугольника, $$\alpha$$ - угол между боковыми сторонами, $$a$$ - длина боковой стороны.

Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2} a^2 \sin{\alpha}$$

Из условия задачи нам известны площадь треугольника $$S = 196\sqrt{3}$$ и угол между боковыми сторонами $$\alpha = 120^\circ$$.

Выразим сторону a:

$$a^2 = \frac{2S}{\sin{\alpha}}$$ $$a = \sqrt{\frac{2S}{\sin{\alpha}}}$$

Подставим известные значения:

$$a = \sqrt{\frac{2 \cdot 196\sqrt{3}}{\sin{120^\circ}}}$$

Так как $$\sin{120^\circ} = \sin{(180^\circ - 60^\circ)} = \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, получим:

$$a = \sqrt{\frac{2 \cdot 196\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 196\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}}} = \sqrt{2 \cdot 196 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 196} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{196} = 2 \cdot 14 = 28$$

Ответ: 28