Прямая a пересекает плоскость α. Лежит ли в плоскости α хоть одна прямая, параллельная a?

Нет. Если бы прямая плоскости α была параллельна a, она имела бы с a одно направление. Но a пересекает α, поэтому её направление не параллельно плоскости α и не может совпадать с направлением прямой, лежащей в α.

Ответ: нет.