1. Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из А в В отправился плот, а через час вслед за ним – моторная лодка, которая, дойдя до В, тотчас повернула обратно. К моменту возвращения лодки в А плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки 4 км/ч.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть t – время движения плота. Тогда плот был в пути t + 1 час и проплыл 32 км со скоростью течения реки 4 км/ч.
   Составим уравнение:
   \[ 4(t + 1) = 32 \]
   \[ 4t + 4 = 32 \]
   \[ 4t = 28 \]
   \[ t = 7 \]
   Плот был в пути 7 часов. Лодка вышла через час, значит, она была в пути 6 часов до момента возвращения в пункт А.
2. Пусть x – собственная скорость лодки. До места встречи с плотом она шла по течению, а обратно – против течения.
   Составим уравнение, учитывая расстояние между пунктами А и В (45 км):
   \[ (x + 4)t_1 + (x - 4)t_2 = 45 \]
   Где t₁ – время движения лодки по течению, а t₂ – время движения против течения.
   Так как общее время 6 часов:
   \[ t_1 + t_2 = 6 \]
   \[ t_2 = 6 - t_1 \]
   Подставим в первое уравнение:
   \[ (x + 4)t_1 + (x - 4)(6 - t_1) = 45 \]
3. Время, которое плот плыл до встречи с лодкой:
   \[ t_{\text{встречи}} = \frac{45}{x+4} \]
   Время, которое лодка плыла против течения:
   \[ t_{\text{обратно}} = 6 - \frac{45}{x+4} = \frac{6x - 21}{x+4} \]
   Составим уравнение:
   \[ (x + 4) \cdot \frac{45}{x+4} + (x - 4) \cdot \frac{6x - 21}{x+4} = 45 \]
   \[ 45 + \frac{(x - 4)(6x - 21)}{x+4} = 45 \]
   \[ (x - 4)(6x - 21) = 0 \]
   \[ 6x^2 - 21x - 24x + 84 = 0 \]
   \[ 6x^2 - 45x + 84 = 0 \]
   \[ 2x^2 - 15x + 28 = 0 \]
   \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 28 = 225 - 224 = 1 \]
   \[ x_1 = \frac{15 + 1}{4} = 4 \]
   \[ x_2 = \frac{15 - 1}{4} = 3.5 \]

Ответ: 4 км/ч.