385. Решите систему уравнений графически и аналитически: б) {y = x² + 1, x + 2y = 5.}

б) Решим систему уравнений аналитически:

$$\begin{cases} y = x^2 + 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$$

Выразим x из второго уравнения: $$x = 5 - 2y$$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$$y = (5 - 2y)^2 + 1$$

$$y = 25 - 20y + 4y^2 + 1$$

$$4y^2 - 21y + 26 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$D = (-21)^2 - 4(4)(26) = 441 - 416 = 25$$

$$y_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{21 \pm 5}{8}$$

$$y_1 = \frac{21 + 5}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4}$$

$$y_2 = \frac{21 - 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$$

Теперь найдем соответствующие значения для x:

Если $$y_1 = \frac{13}{4}$$, то $$x_1 = 5 - 2(\frac{13}{4}) = 5 - \frac{13}{2} = \frac{10 - 13}{2} = -\frac{3}{2}$$

Если $$y_2 = 2$$, то $$x_2 = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$$

Таким образом, решения системы уравнений:

$$(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$$ и $$(1, 2)$$

Графически система уравнений представляет собой параболу y = x² + 1 и прямую x + 2y = 5.

Пересечение параболы и прямой дает решения системы уравнений.

Ответ: $$(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4}); (1, 2)$$