Решите уравнение: cos 2x + √2 cos(π/2 + x) + 1 = 0. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Используем cos(π/2 + x) = −sin x и cos 2x + 1 = 2cos² x. Получаем:

2cos² x − √2 sin x = 0.

Подставим cos² x = 1 − sin² x. При s = sin x: 2s² + √2s − 2 = 0. Корни: s = √2/2 и s = −√2. Второе значение невозможно, поэтому sin x = √2/2.

На отрезке [2π; 7π/2] корни: 9π/4 и 11π/4.

Ответ: x = 9π/4; 11π/4.