С—22. 8. Докажите, что значение выражения n(n+1)²/(n−1) − 2n(n+2)/(n−1) + 2n/(n−1) при любом натуральном n ≠ 1 кратно 2.

Объединяем дроби и упрощаем числитель: \(\dfrac{n(n+1)^2-2n(n+2)+2n}{n-1}=\dfrac{n^3+2n^2+n-2n^2-4n+2n}{n-1}=\dfrac{n^3-n}{n-1}\).

Выносим множители: \(\dfrac{n(n-1)(n+1)}{n-1}=n(n+1)\). Среди двух последовательных целых чисел n и n+1 одно чётное, следовательно их произведение кратно 2.