6.138. в) \((1+x\sqrt{3})\sqrt{2}<x+2\sqrt{3}\);

Решаем неравенство:

\((1+x\sqrt{3})\sqrt{2}

1. Раскроем скобки:

   \(\sqrt{2}+x\sqrt{3}\sqrt{2}

2. Перенесем все члены с x в одну сторону, а остальные в другую:

   \(x\sqrt{6}-x<2\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

3. Вынесем x за скобки:

   \(x(\sqrt{6}-1)<2\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

4. Разделим обе части неравенства на \(\sqrt{6}-1\). Так как \(\sqrt{6}-1>0\), знак неравенства не изменится:

   \(x<\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-1}\)

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   \(x<\frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)}=\frac{2\sqrt{18}+2\sqrt{3}-\sqrt{12}-\sqrt{2}}{6-1}=\frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}=\frac{5\sqrt{2}}{5}=\sqrt{2}\)

6. Или:

   \(x<\sqrt{2}\)

Ответ: \(x<\sqrt{2}\)