16. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Невозможно решить задачу без чертежа. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Пусть серединный перпендикуляр к гипотенузе AC пересекает катет BC в точке D. Тогда DA = DC. Пусть отрезок, соединяющий точку D с вершиной A, делит угол C в отношении 4:7. То есть, угол BCD в треугольнике ABC равен 4x, и DAC равен 7x, при этом CD = DA и \(\angle ACD = 4x\) . \(\angle CAB=7x\), тогда \(\angle ACB=4x\). Сумма острых углов равна 90°: \(\angle CAB + \angle ACB = 90°\). \(7x+4x=90°\); \(11x=90°\), следовательно \(x = \frac{90}{11} \approx 8.18\). Так как \(\angle ACB = 4x\), то \(\angle ACB \approx 4*8.18 = 32.72\). Также угол BCD = 4x, DCA= 4x. тогда угол ACB равен 4 * (90/11) = 360/11. Потом угол BAC равен 7 * (90/11) = 630/11. Но по свойства серединного перпендикуляра ADC является равнобедренным треуг. с сторонами DC=DA=AD, то угол DAC равен углу ACB = (360/11). Угол BAD = BAC -DAC = (630/11) - (360/11) = 270/11 Искомый угол BAD = 270 / 11 Ответ: 24.545