13. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол BMC равен 140°.

Пусть AA1 и CC1 – высоты, проведенные к боковым сторонам BC и AB соответственно. Так как треугольник ABC равнобедренный, \(\angle BAC = \angle BCA\). Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = x\). В четырехугольнике AMC1A1 сумма углов равна 360°. Значит, \(\angle C1AA1 + \angle AA1M + \angle AMC1 + \angle C1MA = 360^\circ\). Углы \(\angle C1AA1 = 90^\circ\) и \(\angle AA1M = 90^\circ\). Значит \(\angle C1MA = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 140^\circ = 40^\circ\). Треугольник AMC подобен треугольнику ABC (по двум углам). \(\angle BAC = \angle BCA = x\). Тогда \(\angle ABC = 180^\circ - 2x\). Рассмотрим четырехугольник BA1MC1. Сумма углов 360°. \(\angle A1MC1 = 180^\circ - \angle A\) (т.к. \(\angle BA1M + \angle BC1M = 180^\circ\)), т.е \(\angle A1MC1 = 180^\circ - 40^\circ = 40^\circ\) => \(\angle BMC = 180^\circ - 40^\circ = 40^\circ\). Треугольник BMC - равнобедренный, т.к. CM = BM, значит \(\angle MBC = \angle MCB = \frac{1}{2}(180^\circ - 140^\circ) = 20^\circ\). И \(\angle ABC = 180^\circ - 2*x = 20^\circ\). \(\angle BAC = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 80^\circ\). Ответ: \(\angle A = 80^\circ\), \(\angle B = 20^\circ\), \(\angle C = 80^\circ\).