11 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А проведена биссек- триса ВК, равная 12 см. Найдите В больший катет, если известно, что BK = KC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и биссектрисой ВК. Обозначим больший катет через ВС = х.

Так как ВК - биссектриса угла В, то ∠АВК = ∠СВК.

По условию, ВК = КС = 12 см, следовательно, треугольник ВКС - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠СВК = ∠ВСК.

Введем обозначения: ∠АВК = ∠СВК = ∠ВСК = α. Тогда ∠АВС = 2α.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°: ∠АВС + ∠ВСА = 90°.

Подставим введенные обозначения: 2α + α = 90°.

Получаем 3α = 90°, следовательно, α = 30°.

Значит, ∠АВС = 2 * 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике АВК напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы: АК = 1/2 * ВК = 1/2 * 12 = 6 см.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике АВК: АВ² = ВК² - АК² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108.

Следовательно, АВ = √108 = 6√3 см.

Так как КС = 12 см, то АС = АК + КС = 6 + 12 = 18 см.

Сравним больший катет, найденный как ВС = х и АС = 18 см. Получаем, что АС > АВ, так как 18 > 6√3 (≈10,4).

Ответ: 18 см.