78 В прямоугольном треугольнике ост- рые углы относятся как 2: 1. Из вер- шины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 8 см. Най- дите гипотенузу. Сделайте рисунок в тетради.

Прямоугольный треугольник, острые углы которого относятся как 2:1, имеет углы 30° и 60° (потому что 90° / (2 + 1) = 30°).

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с углом C = 90°, углом A = 60°, углом B = 30°.

CD - высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

Высота CD делит гипотенузу AB на отрезки AD и DB, где AD - меньший отрезок, равный 8 см.

В прямоугольном треугольнике ACD угол A = 60°, значит угол ACD = 90° - 60° = 30°.

AD - катет, прилежащий к углу A = 60°. CD - катет, противолежащий углу A = 60°.

В прямоугольном треугольнике BCD угол B = 30°, значит угол BCD = 90° - 30° = 60°.

DB - катет, прилежащий к углу B = 30°. CD - катет, противолежащий углу B = 30°.

Используем формулу катета, прилежащего к острому углу.

AD = AC * cos A

DB = BC * cos B

Используем формулу катета, противолежащего острому углу.

CD = AC * sin A

CD = BC * sin B

Выразим AC через CD и sin A.

AC = CD / sin A = CD / sin 60° = CD / (√3/2) = (2CD) / √3

AD = AC * cos 60° = ((2CD) / √3) * (1/2) = CD / √3

Выразим BC через CD и sin B.

BC = CD / sin B = CD / sin 30° = CD / (1/2) = 2CD

DB = BC * cos 30° = 2CD * (√3/2) = CD * √3

Так как AD = 8, то CD = AD * √3 = 8√3

DB = CD * √3 = 8√3 * √3 = 8 * 3 = 24

Гипотенуза AB = AD + DB = 8 + 24 = 32

Ответ: 32 см.