V 74 В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 120°, АВ = ВС. Высота, опущенная из вершины А, равна 8 см. Найдите АС.

В равнобедренном треугольнике АВС с углом В = 120°, АВ = ВС. Высота, опущенная из вершины А, равна 8 см. Необходимо найти АС.

1) Проведем высоту АН из вершины А к стороне ВС. Так как треугольник АВС равнобедренный, то высота АН является и медианой, и биссектрисой.

2) Следовательно, угол АВН = 120°/2 = 60°.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. В этом треугольнике угол АВН = 60°, значит, угол ВАН = 90° - 60° = 30°.

4) Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, ВН = 1/2 * АВ.

5) Обозначим АВ = х, тогда ВН = х/2.

6) По теореме Пифагора, АН² + ВН² = АВ².

7) Подставим известные значения: 8² + (х/2)² = х².

64 + х²/4 = х².

64 = х² - х²/4.

64 = 3х²/4.

х² = 64 * 4/3.

х² = 256/3.

х = √(256/3) = 16/√3 = (16√3)/3.

Значит, АВ = ВС = (16√3)/3.

8) Так как АН - медиана, то ВС = 2ВН = 2 * (х/2) = х.

Тогда ВС = (16√3)/3.

9) Рассмотрим треугольник АВС. По теореме косинусов, АС² = АВ² + ВС² - 2 * АВ * ВС * cos(120°).

АС² = ((16√3)/3)² + ((16√3)/3)² - 2 * ((16√3)/3) * ((16√3)/3) * (-1/2).

АС² = 2 * (256*3)/9 + (256*3)/9 = 3 * (256*3)/9 = 256.

АС = √256 = 16.

Ответ: 16 см.