V (72) В прямоугольном треугольнике про- ведена биссектриса угла, равного 60°. Найдите длину этой биссектрисы, если она короче большего катета на 2 см.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, в котором угол B равен 60°. Тогда угол C равен 90° - 60° = 30°.

Пусть BD - биссектриса угла B. Тогда угол ABD = DBC = 60°/2 = 30°.

Пусть x - длина биссектрисы BD. Тогда длина большего катета AC равна x + 2.

В прямоугольном треугольнике BCD: sin C = BD/BC

sin 30° = BD/BC, откуда BC = BD/sin 30° = x/(1/2) = 2x

В прямоугольном треугольнике ABC: sin B = AC/BC

sin 60° = AC/BC, откуда √3/2 = (x + 2)/(2x)

Решим полученное уравнение: x√3 = x + 2

x√3 - x = 2

x(√3 - 1) = 2

x = 2/(√3 - 1) = 2(√3 + 1)/(3 - 1) = 2(√3 + 1)/2 = √3 + 1

Длина биссектрисы BD = √3 + 1 см.

Ответ: √3 + 1 см.